машиностроение основы машиностроения основы машиностроения

в помощь студенту -> Математика

< Точечные множества (продолжение)

Точечные множества (Теорема)

Понятие функции >

Автор: Дмитрий Якимов (все работы автора)

Дата: 2011-05-31

Теорема. Если множество Е ограничено сверху, то оно имеет верхнюю грань, а если ограничено снизу, то имеет нижнюю грань.





Доказательство. Пусть множество

Е = {e}





Ограничено сверху, т.е. существует такая точка b, что для всех «е» принадлежащих множеству «Е» справедливо e <= b. Докажем, что множество Е имеет верхнюю грань. С этой целью составим сечение множества всех действительных чисел. При этом в нижний класс Х включим все числа «e», принадлежащие множеству Е и каждое число, больше которого есть хотя один элемент «е», принадлежащий множеству Е, а остальные числа включим в верхний класс Y. Множества Х и Y не пустые. Так, все числа «е», принадлежащие множеству Е, содержаться в Х, а Y содержит все числа, большие b. Кроме того, очевидно, что если «х» принадлежит Y, а «y» принадлежит Y, то x < y. Из этого следует, что классы Х и Yобразуют сечение (X,Y) множества действительных чисел. В силу непрерывности множества действительных чисел построенное сечение определяет некоторое пограничное число М:

M = (X, Y).





Покажем, что точка М есть верхняя грань множества Е. Прежде всего заметим, что первое условие в определении верхней грани е <= M выполнено, так как все элементы «е», принадлежащие множеству Е, содержаться в Х. Возьмем сколь угодно малое s>0 и составим число M-s < a < M. Так как a

Доказательство существования нижней грани множества, ограниченного снизу, аналогично.

Следствие. Если множество Е – ограниченное, то существует наименьший отрезок, содержащий все множество Е, именно отрезок [m, M], где m есть нижняя, а М – верхняя грань множества Е.

Действительно, если Е = {е} – ограниченное, то оно ограничено и снизу, и сверху, а поэтому имеет и нижнюю грань – m, и верхнюю грань – М. из определения верхней и нижней грани следует, что отрезок [m,M] содержит Е:

m <= e <=M

но найдутся точки «е», принадлежащие множеству Е, которые уже будут вне отрезка [m + s, M - s], каким бы малым s>0 ни был. Следовательно, [m, M] есть наименьший отрезок содержащий множество Е.

Полезная информация:

задать вопрос врачу ветеринару

основы машиностроения

Просмотров: 1417. Вы можете ПОДПИСАТЬСЯ НА RSS

< Точечные множества (продолжение) Понятие функции >

Еще полезно почитать по теме Математика следующее:

1. Свойства абсолютных величин
2. Аналитическое задание функции
3. Точечные множества
4. Понятие функции
5. Кратные интегралы, решение подано

Оцените информацию: 1 2 3 4 5

<

Комментарии:

Добавить комментарий (поля со звездочкой* обязательны для заполнения)



Введите слово "магистр"